简单又复杂的等号
精准地使用符号和表达，是数学基础教育对学生提出的一大目标。尽管基础教育中的数学涉及很多数学符号，但是CCSS尤其对等号的使用提出了各方面要求。NCTM（美国数学教师协会）的《学校数学原则和标准》也对等号的教学提出了专门的指导。从我们My math的教材来看，在有关加法、减法的章节中，都有专门的教符号的课。
比如Grade K的第五章Addition
第六章Subtraction
本来我在给老师们培训的时候讲的都是其正面的意义，例如符号的准确使用是数学表达的一部分，但是在实际教学中我发现很多孩子对等号的理解有偏差。由于长期接受到等号的信息都是几加几等于几，很多孩子竟然把等号理解成了“得出”，也就是等号是一种运算符，一种类似于计算机enter的执行命令符号。尽管算式里有加号或者减号，但是很少有孩子认识到加号减号就是这个算式的运算符，而等号表示的是和等式一边运算完全一致的量或结果。更有一些机构里乱用等号、乱用符号，更加剧了孩子理解上的混乱（My Math的神奇百位数表）这就让我开始对My math用专门的课来上“什么是符号”、“什么是加号”、“什么是减号”、“什么是等号”有了进一步的理解。
在我看来，之所以专家们要在教材中加入这些内容，是因为有太多的学校老师仍然以运算结果为导向评判孩子数学的好坏，学校里、课外补习班仍然像我小时候上学那样让孩子们操练口算题。据说现在“互联网+”了，所以又出现了放在智能手机或者平板电脑里的软件，从而更高效地进行上述重复记忆，这是非常可悲的。以结果为导向的教学，必然会丧失我们迪卡理念中反复向家长们强调的“重要的数学”。
无论在何种场合培训，我都会跟迪卡的同事们强调：“理解运算本身比算什么重要，明白算什么比运算结果重要。”明白算什么，借用迪卡八大能力第一条就是make sense of problems就是要理解问题，当然make sense的英文表达可能更准确，大家知道make sense在英文里的意思有将理解的东西“合理化”，理由充分的含义。这其实对于基础教育要培养人解决问题的能力是第一要务，也就是将问题理解透彻，内化为自己的理解系统，才称得上想办法解决。而“理解运算本身”，是任何理解现代数学的人都认为重要的，因为数学发展到现代，大量领域定义了新的运算，研究的是运算和运算对象的结构，计算机科学也有专门的“算法”研究领域，因此“重要的数学”必然要求运算本身是更高层次的内容。基础教育也并非一定需要停留在现代的数学理解以前，反而应该把重心调整到现代的数学观点，这样才能将学生进入大学学习各门现代学科打下基础，做好知识和认知能力的准备。
既然我们明白了运算本身就是重要的数学之一，那如何才能明白运算本身呢？Mymath为我们做了很好的示范，对于低年龄的孩子，用他们耳熟能详的图画故事、实物教具反复带入他们体验重要的数学本身，比如加法的本质是合成（compose，join），减法的本质是分解（decompose, take apart）。但是一旦到符号的地方，就是他们从具体到抽象的飞跃环节。从上述大班的教学安排来看，是非常慎重的。首要要带领孩子们讨论符号是什么，然后加号或者减号对于算式是什么意义，再次配上图画故事和实物教具的体会，等到了等号的地方，用图画故事和算式让孩子体会两边数量相等的含义。
如果进一步研读CCSS会发现，大纲对于等号、比较的概念的理念非常摩登，非常得现代数学。在给老师们培训如何教数数和比较的时候，刚接触的老师困惑的是：为什么大纲教比较多少的时候，在不同地方十分强调一一对应（one-to-one correspondence）。比大小的时候，强调一个玩偶对应一个玩偶，如果都能找到好朋友，则他们数量相等，如果找不到好朋友，则一行大于或小于另一行的数量。为什么不能直接数数，比较数字大小呢？
因为这是将映射(map)的概念融入到了低年级数学中，也就是编写大纲和教材的专家，不知不觉地在教材中渗透了现代数学的理念：用映射的观点理解比较大小和等号。满足等号的是bijection（双射），也就是定义域和值域具有一一对应的关系，否则就是单射（injection）。这样就把等号的理解和相等的理解往上提升到了映射的层次，从而为中学里至关重要的函数的理解也打下了基础。虽然说用数数也没错，但是一来方法单一，二来孩子也缺乏反思为什么5比3大这样的问题，这样教只有结果，没有重要的数学。所以每次听到家长说“你们教的这些东西太简单，我孩子都会了“。我只想问一句：
我们教的不是怎么解这道题，我们教的是重要的数学。
如果还有人问我为什么要学这些，虽然某创始人一直逼我要给大家培训回答这样的问题，所以大家大可去咨询迪卡的课程顾问。这类问题都不是真正的问题，真正的问题是问的人不太明白为什么要上学这回事。所以我的回答是
我拒绝回答这种问题
最后送给大家一首叶芝的诗
又怎样
[爱尔兰]叶芝
他珍视的同伴们在学校想
他长大一定会成为名人；
他也这样想并按规则生活，
二十多岁那几年全是苦干；
“又怎样？”柏拉图的幽灵唱道：“又怎样？”
他写的东西都有人欣赏，
几年后他有钱
足够来供他开销，
朋友也都是真正的朋友；
“又怎样？”柏拉图的幽灵唱道：“又怎样？”
他所有更惬意的梦想都成真──
一座小旧屋丶妻子丶儿女，
李树和卷心菜生长的园地，
把诗人和智者都吸引到身边；
“又怎样？”柏拉图的幽灵唱道：“又怎样？”
“工作已完成，”老了他想，
“按照我那少年的计划；
让蠢人暴怒，我没有改变方向，
某种完美的东西已铸就；
但那幽灵唱得更大声：“又怎样？”
（黄灿然译）
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