完结的量子力学科普，不完结的量子力学（考试）| SciFM Vol.13
几周不见，不知道大家量子力学都考完了没有呢~
考完了也没有关系，下学期的固体物理或者统计物理还用得着呢，一定要及时复习一下呦~
本期节目意在提醒大家假期不要只顾着玩，也关注一下，教务系统里，量子力学的考试成绩吧~
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首先简略回顾一下前两期内容：
第一，微观粒子的状态用波函数表示
第二，波函数随时间的演化遵循薛定谔方程
第三，物理量用厄米算符来表示，算符表示对波函数进行的操作
第四，算符的本征方程，本征值，本征函数
第五，测量物理量时，我们能够测到的取值就是该算符的一系列本征值
如果大家对以上几条内容有任何疑问，请及时点击我们文中给出的链接回到前两期节目中复习，如果觉得看文字累，也可以点击音频听主播讲给你听~
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厄米算符
上次遗留的问题是，什么是厄米算符呢？
前面我们讲了，本征值是求解本征方程得出来的。它有可能是实数，也有可能是复数。但是，我们要做实验搞测量，测到的一定是个实数呀，我们不可能测到电子的能量是1+2i J，所以呢，必须要求，物理量算符的本征值一定要是实数。而在数学上，刚好有一类算符满足这个要求，我们就把它们叫做厄米算符。具体怎么定义大家可以不管它，关键在于这个性质，大家了解即可。
第四条基本假设
物理量算符的本征函数构成一组正交完备基，把波函数用这组正交完备基展开，测得某个本征值的概率，就是其对应本征函数展开系数的模方。
这里又涉及到了两个概念，正交完备基，和展开系数。这俩又是个啥东西呢？
大家肯定都玩过积木，积木里面有一些基本的积木块，比如立方体，长方体，半球，三角形，等等。我们用积木拼出来的任何一个城堡啦，小动物啦，都是每种积木块取若干个，然后拼在一起拼成的，比方说，我拼了一个小狗，用了一个立方体，两个三角形，五个长方体，那我们写成
小狗=1*立方体+2*三角形+5*长方体
类似地，可以有
小房子=1*立方体+1*三角形+1*长方体
我们把这个式子，称为一个线性展开式，前面的数字，称作展开系数。或者说，小房子，小狗，是立方体，三角形，长方体等基本零件的线性组合。“线性”的意思是，展开式里只有有一次方项，没有三角形的平方啊，三次方啊这种东西。
如果不管什么东西，都可以由这东西拼出来，我们就说，立方体，三角形，长方体，半球，构成了一组正交完备基。完备的意思是，任何东西都可以由这些基本零件拼出来，没有它们拼不出来的。正交这个概念，在积木这个例子里没什么对应，待会儿我们再来解释它的含义。
现在我们知道了，什么是正交完备基，什么是线性展开和展开系数。
那么，回到函数这里来。厄米算符的一组本征函数，构成了一组完备正交基，这就是说，每个本征函数都相当于积木中的一种基本零件，和三角形，立方体啊是一样的。 而任意一个波函数呢，可以看作是我们用积木拼出来的东西，比如，波函数f是小狗，波函数g是小房子等等。这些波函数，可以由我们的基本零件拼出来，也就是可以用我们的本征函数线性组合出来。
如果我们用S1，S2，…来表示本征函数们，数学表达式就是：
F=a*S1 + b*S2 + c*S3 + …
前面的a，b，c是展开系数（可能是复数）。
现在，基本假设告诉我们，我们能够测量到某个本征值的概率，就是对应本征函数展开系数的模平方。
那举个具体的例子，我们测量物理量S，本征函数是S1，S2，对应的本征值是s1，s2，波函数是F，那么测量到s1的概率就是a的模方，测量到s2的概率就是b的模方。如果我们不测S，改测G了，那本征函数是G1，G2，…，对应本征值是g1，g2…，那就要用G1，G2…这组本征函数去展开波函数：
F= a’*G1 + b’*G2 + c’*G3 + …
测到g1的概率就是a’的模方，测到g2的概率就是b’的模方。
关于“正交完备基”中的“正交”，是为了我们数学上方便求出展开系数而构造出来的一个性质，有点类似于高中学过的向量的垂直，大家可以不必太在意。
至此，我们就完全理解了第四条基本假设。
第一次总结
首先在数学上，我们知道了一个物理量的算符时，我们可以求解本征方程，求得所有的本征值和本征函数，这些函数构成一个正交完备基。当我们知道了一个体系的波函数时，我们就可以用这组正交完备基把波函数线性展开。
那现在我们去测量这个体系某些物理量的值，比如位置，动量，能量，等等，我们能够测得那些值呢？答案是，刚才求出来的一系列本征值。虽然某次测量的结果是不确定的，但是我们可以知道测得某个值的概率——就是这个本征值对应的本征函数的展开系数的模平方。
大功告成，这样你就终于知道了女票向你扔电子的时候，你要躲开还是挺住。但……好像并没什么卵用，因为还是不确定，得看人品。
关于量子体系的不确定性
上节的末尾也提到了，我们用仪器去测量某个物理量时，能够测到什么值是不确定的，全看粒子的心情。什么意思呢？比方说，有很多个完全一样的盒子，每个盒子里装了一个电子，这些电子都处在完全相同的状态，也就是每个电子的波函数长得都一样。现在，我们用仪器去测量每个盒子里电子的能量。你会发现，虽然这些电子所处的状态完全相同，但一般来说，每测量一个盒子，你都可能测得不同的数值。
所以这有什么奇怪的地方吗？
我们用经典的情况类比一下，就相当于，假设每个盒子里有钢镚儿，我事先知道每个盒子里钢镚儿的状态都是完全相同的。然而每次我打开一个盒子，都会发现，这个钢镚儿可能正面朝上，也可能反面朝上。
大家可能会想，不对啊，刚才明明说了这些钢镚儿的状态是一样的，这个状态一样是什么意思呢？难道不包括正反面都一样吗？
的确，对于钢镚儿来说，我们可以用这个钢镚儿上每个点的坐标作为时间的函数来描述它的位形，也就是这个钢镚儿的状态。所以状态一样，一定也意味着正反面一样。但是，当我们把钢镚儿这个宏观物体换成微观粒子时，就需要考虑到第一条假设，这个粒子的状态是用一个函数表示的，即波函数，状态一致意味着波函数相同，但是单纯知道波函数并没告诉我们可以测到什么值。直到第四条假设，才告诉我们与测量相关的事情。波函数一样，也不能保证，对于完全相同的体系，测量某个量是总能测到同样的值。这就是量子力学里，系统内禀的不确定性。
那么为什么会有这种不确定性呢？既然不确定，那是不是这其中就完全没有规律可循了呢？
那我们就需要知道，我们如何得到测量值的。在经典力学的世界里，我们用位置，速度这些动力学量来描述系统的状态，我们认为物体每时每刻总是有一个确定的位置和速度，并由此出发计算得到各种其他物理量。所以我们去测量时，如果系统状态完全一样，在同样的时间，总是能够测量到同样的数值。因为那里已经有一个确定值，我们去测量，只是去得到它而已。
而量子力学的出发点是完全不同的。系统的状态并非由位置和速度这些动力学量来描述，而是由一个波函数来描述。关于测量，第四条基本假设告诉我们，那里没有一个确定的值等着你去知道，那里有很多值都是可能的，你去测量只是从那些值中间取一个出来，但是在测量之前，你可以知道你测量到各个值的概率是多少。
这就是它们本质上的不同。
第二次总结
经典力学和量子力学虽然都叫力学，但他们有着完全不同的逻辑框架。经典力学用动力学量——位置和速度，描述系统的状态，然后用牛顿定律给出动力学量随时间的演化，各个物理量在每时每刻都有确定的数值，测量只不过是去把那个数值取出来而已。而量子力学系统状态用波函数来描述，其演化遵循薛定谔方程。在量子力学里没有了经典力学里的动力学量，而变成了厄米算符，各种物理量没有固定取值，但是各种取值的概率是可以被确定的。
这就是目前为止，我们所知道的关于微观世界和宏观世界，完全不同的运动规律。当然，从量子力学可以过渡到经典力学，给出经典力学的结果，这是后话。
关于测量
不知道大家有没有注意到，刚才在讲测量时，说的是准备了很多完全相同的体系。那么，为什么要准备很多完全相同的体系呢？只准备一个体系，然后对它进行多次测量不可以吗？
答案当然是，不可以。因为，在量子力学里，测量这个行为，会改变系统的状态。这个改变非常严重，以至于后续测量已经和前一次测的完全不是同一个系统了。
那么系统究竟会发生什么改变呢？
前面我们知道，对于任意一个波函数，我们都可以用某个物理量算符的本征函数展开。测量一次，就得到了该算符的一个本征值。就在这时，系统会发生变化，其波函数会直接变成这个本征值对应的本征函数。这个过程，就是所谓的“坍缩”。因此当我们进行后续测量时，这个系统的波函数已经不是原来的波函数了。我们想要测量系统某个状态下的物理量时，只能准备很多相同的系统，每个测量一次，而不能对同一系统进行重复测量。这一点也和经典力学非常不同。
第三次总结
到此为止，我们已经可以大致了解量子力学在干嘛了。一般流程就是，给出一个系统的哈密顿量，给出边界条件，我可以解薛定谔方程得到波函数。然后，对于感兴趣的物理量呢，我可以去解他们的本征方程得到本征值和本征函数，然后刚才得到的波函数用本征函数展开，得到展开系数，就得到了观测到某个值的概率，从而可以解释和预测一些实验现象。
除了这四条基本假设，还有一条全同性原理的假设，用于处理多粒子的情形，它会对多粒子体系的统计行为有非常大的影响，泡利不相容原理也源自于此。
当然我们以上三期讲的呢，只是最最原理的东西，这门学科内还有各种各样的方法和技巧，去处理实际遇到的各种复杂的问题。大家点赞转发多的话我们有可能会出后续节目哦~本期节目就到这里啦，我们下期再见~
编辑：吉星
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